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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

If a rectangle has its base on the x -axis and two vertices on the curve y = e x 2 , show that the rectangle has the largest possible area when the two vertices are at the points of inflection of the curve.

To determine

To verify:

The value of the largest area bounded by the x-axis and two vertices on the curve y=ex2.

Answer

Solution:

Verified.

Explanation

Given:

y=ex2

Formulae used:

The maximise with second derivative test f(x)<0

The area of the bounded region is

A=Base×Height=2x×ex2=2xex2

Differentiate the area with respect to x to get the condition of maximum area

dAdx=2xex2(2x)+2ex2=2ex2(12x2)

Find the critical point by putting dAdx=0 as follows:

2ex2(12x2)=0

This implies:

2ex2=0 or 12x2=0

2ex2=0 gives no solution.

So, 12x2=0

This implies:

2x2=1x2=12x=±12

Hence, the critical points are x=±12.

Now,

d2Adx2=2ex2(12x2)

Therefore, the value of d2Adx2 at x=±12 is:

d2Adx2=ex2(4x36x)<0

Thus, the rectangle has the largest possible area when the vertices are at the points of inflection of the curve.

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Sect-6.1 P-11ESect-6.1 P-12ESect-6.1 P-13ESect-6.1 P-14ESect-6.1 P-15ESect-6.1 P-16ESect-6.1 P-17ESect-6.1 P-18ESect-6.1 P-19ESect-6.1 P-20ESect-6.1 P-21ESect-6.1 P-22ESect-6.1 P-23ESect-6.1 P-24ESect-6.1 P-25ESect-6.1 P-26ESect-6.1 P-27ESect-6.1 P-28ESect-6.1 P-29ESect-6.1 P-30ESect-6.1 P-31ESect-6.1 P-32ESect-6.1 P-33ESect-6.1 P-34ESect-6.1 P-35ESect-6.1 P-36ESect-6.1 P-37ESect-6.1 P-38ESect-6.1 P-39ESect-6.1 P-40ESect-6.1 P-41ESect-6.1 P-42ESect-6.1 P-43ESect-6.1 P-44ESect-6.1 P-45ESect-6.1 P-46ESect-6.1 P-47ESect-6.1 P-48ESect-6.1 P-49ESect-6.1 P-50ESect-6.2 P-1ESect-6.2 P-2ESect-6.2 P-3ESect-6.2 P-4ESect-6.2 P-5ESect-6.2 P-6ESect-6.2 P-7ESect-6.2 P-8ESect-6.2 P-9ESect-6.2 P-10ESect-6.2 P-11ESect-6.2 P-12ESect-6.2 P-13ESect-6.2 P-14ESect-6.2 P-15ESect-6.2 P-16ESect-6.2 P-17ESect-6.2 P-18ESect-6.2 P-19ESect-6.2 P-20ESect-6.2 P-21ESect-6.2 P-22ESect-6.2 P-23ESect-6.2 P-24ESect-6.2 P-25ESect-6.2 P-26ESect-6.2 P-27ESect-6.2 P-28ESect-6.2 P-29ESect-6.2 P-30ESect-6.2 P-31ESect-6.2 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