Chapter 10.6, Problem 6PSA

a.

To determine

Check whether the given segments are parallel or not.

Explanation of Solution

Given:

The given diagram is

  

The given data are $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{E}\mathrm{D}\right),\mathrm{A}\mathrm{B}=8,\mathrm{B}\mathrm{C}=4,\mathrm{C}\mathrm{D}=9$ .

The given segments are $\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}$ and $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$ .

Calculation:

Inscribed angle $=\frac{1}{2}$ intercepted arcs

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{D}\right)\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\right]\\ \mathrm{m}\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}={180}^{°}-\mathrm{m}\angle \mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\\ ={180}^{°}-\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\\ =\frac{{360}^{°}-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\right)}{2}\\ =\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\right)}{2}\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\right]\\ \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{E}\mathrm{D}\right)(\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\right]\end{array}$

  $\mathrm{m}\angle \mathrm{C}=\mathrm{m}\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}$

The angle $\angle \mathrm{C}$ and $\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}$ are the corresponding angle.

So,

  $\mathrm{C}\mathrm{D}\parallel \mathrm{B}\mathrm{E}$

b.

To determine

Find the value of the given segment.

Answer to Problem 6PSA

The value of $\mathrm{B}\mathrm{E}=6$ .

Explanation of Solution

Given:

The given diagram is

  

The given data are $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{E}\mathrm{D}\right),\mathrm{A}\mathrm{B}=8,\mathrm{B}\mathrm{C}=4,\mathrm{C}\mathrm{D}=9$ .

The given segment is $\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}$ .

Calculation:

Inscribed angle $=\frac{1}{2}$ intercepted arcs

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{D}\right)\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\right]\\ \mathrm{m}\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}={180}^{°}-\mathrm{m}\angle \mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\\ ={180}^{°}-\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\\ =\frac{{360}^{°}-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\right)}{2}\\ =\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\right)}{2}\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\right]\\ \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{E}\mathrm{D}\right)(\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\right]\end{array}$

  $\mathrm{m}\angle \mathrm{C}=\mathrm{m}\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}$

Similarly

  $\mathrm{m}\angle \mathrm{D}=\mathrm{m}\angle \mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{A}$

From AA property

  $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}\sim \mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}$

Use similarity property.

  $\begin{array}{l}\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{B}\mathrm{E}}\\ \Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{E}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{D}\cdot \mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}\\ \Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{E}=\frac{9\cdot 8}{8+4}\\ \Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{E}=\frac{72}{12}\\ \Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{E}=6\end{array}$ ,

Hence the value of $\mathrm{B}\mathrm{E}=6$ .

c.

To determine

Check whether the given triangle is scalene or not.

Explanation of Solution

Given:

The given diagram is

  

The given data are $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{E}\mathrm{D}\right),\mathrm{A}\mathrm{B}=8,\mathrm{B}\mathrm{C}=4,\mathrm{C}\mathrm{D}=9$ .

The given $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$ .

Calculation:

Inscribed angle $=\frac{1}{2}$ intercepted arcs

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{D}\right)\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\right]\\ \mathrm{m}\angle \mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\right)\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{C}\mathrm{B}\right)\right]\\ \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{E}\mathrm{D}\right)(\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\\ =\frac{1}{2}\left[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\mathrm{E}\right)+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\right)\right]\end{array}$

  $\mathrm{m}\angle \mathrm{C}=\mathrm{m}\angle \mathrm{D}$

Hence the $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is an isosceles triangle not a scalene triangle.