Chapter 12, Problem 12.76QA

Interpretation Introduction

To find:

The overall ΔG⁰_rxn value of the iron reduction reaction at ${1450}^0\mathrm{C}.$

Answer to Problem 12.76QA

Solution:

$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{ }∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathbf{ }\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }1450^0\mathrm{C}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }-1690\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}.$

Explanation of Solution

1) Formula:

i. $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0-\mathrm{T}∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$

ii. $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0-\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0$

iii. $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0-\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0$

Here $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ is the standard Gibb’s free energy of reaction, $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ the standard enthalpy of the reaction, $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ the standard entropy of the reaction, T the absolute temperature, and n the moles of each specie.

2) Concept:

We can calculate the change in enthalpy that accompanies a chemical reaction under standard conditions, $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ from the difference between the standard molar enthalpies of n­­_reactants moles of reactants and the standard molar enthalpies of n_products moles of products. Therefore, we can get the above formula.  Same is applied for $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$.

The relation between Gibbs free energy ($∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$), enthalpy ($∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$) and entropy ($∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$) is given by the above formula. We can use this formula to calculate $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ of reaction.

Formation of carbon monoxide from coal as follow:

$2{\mathrm{C}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+{\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}\to 2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\dots \left(1\right)$

3) Given information:

$\mathrm{F}\mathrm{e}{}_2{\mathrm{O}}_{3\left(\mathrm{s}\right)}+3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\to 2\mathrm{F}{\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}\mathrm{ }\dots \mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{ }12.75\dots \left(2\right)$

$\mathrm{T}=1450\mathrm{ }\mathrm{℃}$

	$∆{\mathbf{H}}_{\mathbf{f}}^0(\mathbf{k}\mathbf{J}/\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{l})$	$∆{\mathbf{S}}_{\mathbf{f}}^0(\mathbf{J}/\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{l}.\mathbf{K})$
$\mathbf{F}\mathbf{e}{}_2{\mathbf{O}}_{3\left(\mathbf{s}\right)}$	$-824.2$	$87.4$
${\mathbf{C}}_{\left(\mathbf{s}\right)}$	$0.0$	$5.7$
${\mathbf{O}}_{2\left(\mathbf{g}\right)}$	$0.0$	$205.0$
$\mathbf{F}{\mathbf{e}}_{\left(\mathbf{s}\right)}$	$0.0$	$27.3$
$\mathbf{C}{\mathbf{O}}_{2\left(\mathbf{g}\right)}$	$-393.5$	$213.8$

4) Calculations:

Reduction of iron from coal is the overall reaction of the two reactions above.

$2{\mathrm{C}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+{\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}\to 2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\dots \left(1\right)$

$\mathrm{F}\mathrm{e}{}_2{\mathrm{O}}_{3\left(\mathrm{s}\right)}+3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\to 2\mathrm{F}{\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}\dots \left(2\right)$

To get the same number of moles of $\mathrm{ }\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(g\right)}$, we need to multiply reaction (1) by 3 and reaction (2) by 2.

$6{\mathrm{C}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+{3\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}\to 6\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\dots \left(3\right)$

$2\mathrm{F}\mathrm{e}{}_2{\mathrm{O}}_{3\left(\mathrm{s}\right)}+6\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\to 4\mathrm{F}{\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+6\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}\mathrm{ }\dots \left(4\right)$

Adding reactions (3) and (4), we are getting overall reaction:

$2\mathbf{F}\mathbf{e}{}_2{\mathbf{O}}_{3\left(\mathbf{s}\right)}+6{\mathbf{C}}_{\left(\mathbf{s}\right)}+{3\mathbf{O}}_{2\left(\mathbf{g}\right)}\to 4\mathbf{F}{\mathbf{e}}_{\left(\mathbf{s}\right)}+6\mathbf{C}{\mathbf{O}}_{2\left(\mathbf{g}\right)}$

The unit of $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f}}^0$ is $\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}$, therefore we need to convert T from ⁰C to K.

$\mathrm{T}=1450\mathrm{ }\mathrm{℃}+273.15=1723.15\mathbf{ }\mathbf{K}$

Calculation for $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$:

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0-\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=$

$\left[\left(4\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{\mathrm{F}\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]-\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{F}\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{\mathrm{C}}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{O}}_2}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]$

$=\left[\left(4\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 0.0\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times \left(-393.5\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right)\right]-\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times \left(-824.2\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 0.0\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 0.0\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right]$

$=\left[\left(0-2361\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}\right)\right]-\left[\right(-1648-0\left)\right]$

$=(-2361\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J})-\left(-1648\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}\right)$

$=-2361\mathrm{ }+1648\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

$∆{\mathbf{H}}_{\mathbf{r}\mathbf{x}\mathbf{n}}^0=-712.6\mathbf{ }\mathbf{k}\mathbf{J}$

Calculation for $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$:

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=$

$\left[\left(4\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{\mathrm{F}\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]-\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{F}\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{\mathrm{C}}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{O}}_2}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]$

$=\left[\left(4\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 27.3\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 213.8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)\right]-\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 87.4\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)+\left(6\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 5.7\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 205.0\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right]$

$=\left(109.2\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+1282.8\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\right)-\left(174.8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+34.2\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+615\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\right)$

$=1392\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}-824\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=568\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

All units of $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0,\mathrm{ }∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$, must be in same unit, so need to convert $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ from $\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ to $\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$.

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=568\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\times \frac{1\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}}{1000\mathrm{ }\mathrm{J}}=0.568\frac{\mathbf{k}\mathbf{J}}{\mathbf{K}}$

Calculation for $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$:

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0-\mathrm{T}∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=-712.6\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}-1723.15\mathrm{ }\mathrm{K}\times 0.568\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=-712.6\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}-978.7492\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

$∆{\mathbf{G}}_{\mathbf{r}\mathbf{x}\mathbf{n}}^0=-1690\mathbf{ }\mathbf{k}\mathbf{J}$

Conclusion:

Based on the values of $∆H_f^0 and ∆S_f^0$, the $∆G_{rxn}^0$ for the reduction of iron at $1450 ℃$ with coke is $\mathrm{ }-1690\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}.$