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Calculus: Early Transcendental Fun...

7th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337552516

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Calculus: Early Transcendental Fun...

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Textbook Problem

Analyzing the Graph of a Trigonometric Function In Exercises 35-42, analyze and sketch a graph of the function over the given interval. Label any intercepts, relative extrema, points of inflection, and asymptotes. Use a graphing utility to verify your results.

Function Interval

y = 2 ( x 2 ) + cos x 0 < x < π

To determine

To graph: The function y=2(x2)+cotx

Explanation

Given: The function y=2(x2)+cotx over the interval 0xπ.

Graph: The domain of the function has been provided as [0,π].

Now find the x and y intercepts by equating y and x to zero respectively to obtain:

The x-intercept is (0.28,0) and there are no y-intercepts.

The function has two vertical asymptotes, x=0,x=π as the cotangent function is not defined at those points.

Now, differentiate the function with respect to x and equate it to zero to obtain the critical points.

2csc2x=0cscx=2x=π4,3π4

This gives three test intervals (0,π4),(π4,3π4),(3π4,π).

Let π6(0,π4).

f'(π6)=2csc2π6=2<0

The function is decreasing on this interval.

Let π2(π4,3π4).

f'(π2)=2csc2π2=1>0

The function is increasing on this interval.

Let 7π8(3π4,π).

f'(7π8)=2csc27π8=26.828<0

The function is decreasing on this interval.

This implies that the function has a relative minimum at π4 and a relative maximum at 3π4.

Now obtain the value of the function at these critical points.

f(π4)=2((π4)2)+cot(π4)=π23f(3π4)=2((3π4)2)+cot(3π4)=3π25

Thus the relative minimum is (3π4,3π25) and the relative maximum is (π4,π23)

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P-81ESect-4.2 P-1ESect-4.2 P-2ESect-4.2 P-3ESect-4.2 P-4ESect-4.2 P-5ESect-4.2 P-6ESect-4.2 P-7ESect-4.2 P-8ESect-4.2 P-9ESect-4.2 P-10ESect-4.2 P-11ESect-4.2 P-12ESect-4.2 P-13ESect-4.2 P-14ESect-4.2 P-15ESect-4.2 P-16ESect-4.2 P-17ESect-4.2 P-18ESect-4.2 P-19ESect-4.2 P-20ESect-4.2 P-21ESect-4.2 P-22ESect-4.2 P-23ESect-4.2 P-24ESect-4.2 P-25ESect-4.2 P-26ESect-4.2 P-27ESect-4.2 P-28ESect-4.2 P-29ESect-4.2 P-30ESect-4.2 P-31ESect-4.2 P-32ESect-4.2 P-33ESect-4.2 P-34ESect-4.2 P-35ESect-4.2 P-36ESect-4.2 P-37ESect-4.2 P-38ESect-4.2 P-39ESect-4.2 P-40ESect-4.2 P-41ESect-4.2 P-42ESect-4.2 P-43ESect-4.2 P-44ESect-4.2 P-45ESect-4.2 P-46ESect-4.2 P-47ESect-4.2 P-48ESect-4.2 P-49ESect-4.2 P-50ESect-4.2 P-51ESect-4.2 P-52ESect-4.2 P-53ESect-4.2 P-54ESect-4.2 P-55ESect-4.2 P-56ESect-4.2 P-57ESect-4.2 P-58ESect-4.2 P-59ESect-4.2 P-60ESect-4.2 P-61ESect-4.2 P-62ESect-4.2 P-63ESect-4.2 P-64ESect-4.2 P-65ESect-4.2 P-66ESect-4.2 P-67ESect-4.2 P-68ESect-4.2 P-69ESect-4.2 P-70ESect-4.2 P-71ESect-4.2 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