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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

Comparing Functions In Exercises 69–74, use L’Hôpital’s Rule to determine the comparative rates of increase of the functions f(x) = xm, g(x) = enx, and h(x) = (ln x)n, where n > 0, m > 0, and x → ∞.

lim x ( ln x ) n x m

To determine

To calculate: The rate of increase of function h(x)=(lnx)n with respect to function f(x)=xm by the use of L’Hopitals rule.

Explanation

Given:

The expression,

limx(lnx)nxm,m>0,n>0

Formula used:

L’Hopitals rule.

Let p and q be the function that are differentiable in open interval (c,d) containing a, except possibility at a itself. Assume that q(x)0 for all x in (c,d), except possibly at a itself. If the limit of p(x)q(x) as x approaches a produces the indeterminate form 00,, or then,

limxap(x)q(x)=limxap(x)q(x)

Calculation:

Consider the limits

limx(lnx)nxm

In above expression,

h(x)=(lnx)n,n>0f(x)=xm,m>0

Therefore

limxh(x)=limxf(x)=

Hence apply the L’Hopital’s rule in the provided expression,

limx(lnx)nxm=limxn(lnx)n11xmxm1=limxn(lnx)n1mxm

Substitute the limit of x in above equation,

limxn(lnx)n1mxm=

As the right hand side of equation will be of the form of therefore applyL’Hopital’s rule again,

limx(lnx)nxm=limxn(n1)(lnx)n21xm2xm1

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