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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

Centroid In Exercises 57 and 58, find the centroid of the region bounded by the graphs of the inequalities.

y 1 4 x 2 , ( x 4 ) 2 + y 2 16 , y 0

To determine

To calculate: The centroid of the region bounded by the graphs of the following inequalities,

y14x2,(x4)2+y216,y0.

Explanation

Given:

The given inequalities y14x2,(x4)2+y216,y0.

Formula used:

Centroid of a region (x¯,y¯) bounded by two curves f(x) and g(x) in the interval [a,b] is,

x¯=1A(abx(f(x)g(x))dx), and,

y¯=1Aab12([f(x)]2[g(x)]2)dx

A is the area of the bounded region.

Calculation:

Consider the following inequalities,

y14x2,(x4)2+y216,y0.

y14x2 is the region in anupward parabola with vertex at (0,0).

Whereas, (x4)2+y216 is the region within the circle, with center at (4,0) and radius 4.

Also, y0 is the region above x-axis.

Now, the point of intersection of circle and the parabola is to calculate.

We consider the following equations,

y=14x2 and (x4)2+y2=16

Tosolve the equation, substitute y=14x2 in the equation (x4)2+y2=16.

Therefore,

(x4)2+116x4=16x2+168x+116x4=16x4+16x2128x=0x(x4)(x2+4x+32)=0

Because, (x2+4x+32) do not have any real solution either x=0 or x=4.

So, substitute x=0 then, y=0.

when x=4, then y=4.

Thus, the graph of the inequalities with the common region is as following,

It is clear from the graph thatarea of the shaded region, which is equal to the area under the parabolic curve y=14x2 in the interval [0,4] and area of the quarter of the circle with radius 4.

Thus,

Area of the shaded region =0414x2dx+π(4)24=[112x3]04+4π=[112(4)3112(0)3]+4π

=163+4π …… (1)

Consider the following equation,

(x4)2+y2=16.

(x4)2+y2=16 is equivalent to y=±16(x4)2.

It is clear from the parabola that, the common region is only above the x-axis, so consider only the equation, y=16(x4)2.

Let assume f(x)=14x2 and g(x)=16(x4)2

Calculate abx(f(x)g(x))dx for the x¯ of the centroid,.

By taking the upper limit as 8 and the lower limit as 4 of the function g(x) and change the sign of g(x) different limits are taken.

x¯=1A(abx(f(x)g(x))dx) is equivalent to x¯=1A(abxf(x)dx+cdxg(x)dx)

Thus,

abx(f(x)g(x))dx=abxf(x)dx+cdxg(x)dx …… (2)

Hence,

abxf(x)dx=04x14x2dx=[116x4]04=[116(4)4116(4)0]

=16 …… (3)

So,

48xg(x)dx=48x16(x4)2dx=48(x4)16(x4)2dx+48416(x4)2dx

=48(x4)16(x4)2dx+48442(x4)2dx …… (4)

Now, substitute 16(x4)2=t in 48(x4)16(x4)2dx.

Then,

48(x4)16(x4)2dx=48(x4)tdt2(x4)=12[t32]48

Substitute t=16(x4)2 to get,

12[t32]48=12[(16(x4)2)32]48=12[(16(84)2)32(16(44)2)32]=12(1632)

Now,

48(x4)16(x4)2dx=12(1632) …… (5)

By using (a2x2)dx=xa2x22+a22arcsin(xa) in 48442(x4)2dx

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