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Calculus: Early Transcendental Fun...

7th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337552516

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Calculus: Early Transcendental Fun...

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Textbook Problem

Finding a First-Degree Polynomial Approximation In Exercises 9-12, find a first- degree polynomial function P 1 whose value and slope agree with the value and slope of f at x = c . Use a graphing utility to graph f and P 1

f ( x ) = 6 x 3 , c = 8

To determine

To calculate: The first-degree polynomial function, P1 whose value and slope agree with the value and slope of f(x)=6x3 at x=c when c=8.

Explanation

Given:

The function is f(x)=6x3 and c=8. The value and slope of first-degree polynomial function, P1 agree with the value and slope of f(x)=6x3 at x=c when c=8.

Formula used:

The definition of Taylor series for a n th degree polynomial is that if f has n derivatives at c, then the polynomial given below is known as the n th Taylor series for f at c.

Pn(x)=f(c)+f(c)(xc)+f(c)2(xc)2++f(n)(c)n(xc)n

The derivative of xn is:

ddx(xn)=nxn1

Calculation:

The function is

f(x)=6x3

Differentiate both sides of the above equation with respect to x.

f(x)=ddx(6x13)

Use the formula, ddx(xn)=nxn1 in the above equation,

f(x)=6×(13)x43=2x43

Substitute x=8 in the above derivative:

f(x)=2x43=2(8)43=2(2)4=18

Substitute x=8 in the function f(x)=6x3.

f(8)=683=62=3

The definition of Taylor series for a n th degree polynomial is that if f has n derivatives at c, then the polynomial given below is known as the n th Taylor series for f at c.

Pn(x)=f(c)+f(c)(xc)+f(c)2(xc)2++f(n)(c)n(xc)n

Here the function is f(x)=6x3

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