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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

The table gives the population of Indonesia, in millions, for the second half of the 20th century.

Year Population
1950
1960
1970
1980
1990
2000
83
100
122
150
182
214

(a) Assuming the population grows at a rate proportional to its size, use the census figures for 1950 and 1960 to predict the population in 1980. Compare with the actual figure.

(b) Use the census figures for 1960 and 1980 to predict the population in 2000. Compare with the actual population.

(c) Use the census figures for 1980 and 2000 to predict the population in 2010 and compare with the actual population of 243 million.

(d) Use the model in part (c) to predict the population in 2020. Do you think the prediction will be too high or too low? Why?

To determine

To evaluate:

a) Predict population of year 1980 using population of year 1950 and 1960 and compare this population with the actual one.

b) Predict population of year 2000 using population of year 1960 and 1980 and compare this population with the actual one.

c) Predict population of year 2010 using population of year 1980 and 2000 and compare this with the actual population of 243 million.

d) By using model of part(c), predict the population of year 2020 and check whether it’s too law or too high from actual one.

Explanation

We measure time t in years and let P(t) denotes the population of Indonesia, in millions, in t years.

Given that:

The table that gives estimates of the population of Indonesia, in millions, for the second half of the 20th century:

Formula used:

(1) Model of exponential population growth: P(t)=P(0)ekt where k denotes the relative growth.

Calculation:

Part (a):

In this case assume population of year 1950 as initial population i.e.

P(0) = 83

Then, population in year 1960 becomes:

P(10) = population in year 1960 = 100. 

Consider, the model of exponential growth for the population in world

P(t)=P(0)ekt

Replace value P(0)=83. Replace this value in above model, we getP(t)=83ekt                                                                     (1)

Put P(10)=100 in equation (1), we get100=P(10)    =83e10k

Divide both side by 83, we get10083=e10kTaking log both side, we getln10083=lne10k           =10kTherefore, k=110ln100830.018633/year

Replace value k=0.018633  in equation (1), we getP(t)=83e0.018633t                                       (2)

Year 1980 is after 30 year from the initial time i.e. from year 1950. So, put t =30 in equation (2), we get

P(30)=83e0.018633×30            =83×e0.55899            145.16

Conclusion (a): Thus, the predicted population in year 1980 is 145 million. Here, this predicted population of year 1980 is pretty much close to the actual population. 

Part (b):

In this case assume population of 1960 as initial population i.e.

P(0) = 100

Then, population in year 1980 becomes:

P(20) = population in year 1980 = 150. 

Consider, the model of exponential growth for the population in world

P(t)=P(0)ekt

Replace value P(0)=100. Replace this value in above model, we getP(t)=100ekt                                                                     (3)

<m:math>

 <m:mtable columnalign='left'>

<m:mtr>

<m:mtd>

<m:mtext>Put </m:mtext><m:mi>P</m:mi><m:mo stretchy='false'>(</m:mo><m:mn>20</m:mn><m:mo stretchy='false'>)</m:mo><m:mo>=</m:mo><m:mn>150</m:mn><m:mtext> in equation (3), we get</m:mtext>

</m:mtd>

</m:mtr>

<m:mtr>

<m:mtd>

<m:mtext>150=</m:mtext><m:mi>P</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo>

<m:mrow>

<m:mn>20</m:mn></m:mrow>

<m:mo>)</m:mo></m:mrow>

</m:mtd>

</m:mtr>

<m:mtr>

<m:mtd>

<m:mtext>      </m:mtext><m:mo>=</m:mo><m:mn>100</m:mn><m:msup>

<m:mi>e</m:mi>

<m:mrow>

<m:mn>20</m:mn><m:mi>k</m:mi></m:mrow>

</m:msup>

</m:mtd>

</m:mtr>

 </m:mtable>

 

</m:math>

Divide both side by 100, we get1

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P-103ESect-6.2 P-104ESect-6.2 P-105ESect-6.2 P-106ESect-6.2 P-107ESect-6.2 P-108ESect-6.2 P-109ESect-6.2 P-110ESect-6.2 P-111ESect-6.3 P-1ESect-6.3 P-2ESect-6.3 P-3ESect-6.3 P-4ESect-6.3 P-5ESect-6.3 P-6ESect-6.3 P-7ESect-6.3 P-8ESect-6.3 P-9ESect-6.3 P-10ESect-6.3 P-11ESect-6.3 P-12ESect-6.3 P-13ESect-6.3 P-14ESect-6.3 P-15ESect-6.3 P-16ESect-6.3 P-17ESect-6.3 P-18ESect-6.3 P-19ESect-6.3 P-20ESect-6.3 P-21ESect-6.3 P-22ESect-6.3 P-23ESect-6.3 P-24ESect-6.3 P-25ESect-6.3 P-26ESect-6.3 P-27ESect-6.3 P-28ESect-6.3 P-29ESect-6.3 P-30ESect-6.3 P-31ESect-6.3 P-32ESect-6.3 P-33ESect-6.3 P-34ESect-6.3 P-35ESect-6.3 P-36ESect-6.3 P-37ESect-6.3 P-38ESect-6.3 P-39ESect-6.3 P-40ESect-6.3 P-41ESect-6.3 P-42ESect-6.3 P-43ESect-6.3 P-44ESect-6.3 P-45ESect-6.3 P-46ESect-6.3 P-47ESect-6.3 P-48ESect-6.3 P-49ESect-6.3 P-50ESect-6.3 P-51ESect-6.3 P-52ESect-6.3 P-53ESect-6.3 P-54ESect-6.3 P-55ESect-6.3 P-56ESect-6.3 P-57ESect-6.3 P-58ESect-6.3 P-59ESect-6.3 P-60ESect-6.3 P-61ESect-6.3 P-62ESect-6.3 P-63ESect-6.3 P-64ESect-6.3 P-65ESect-6.3 P-66ESect-6.3 P-67ESect-6.3 P-68ESect-6.3 P-69ESect-6.3 P-70ESect-6.3 P-71ESect-6.3 P-72ESect-6.3 P-73ESect-6.3 P-74ESect-6.4 P-1ESect-6.4 P-2ESect-6.4 P-3ESect-6.4 P-4ESect-6.4 P-5ESect-6.4 P-6ESect-6.4 P-7ESect-6.4 P-8ESect-6.4 P-9ESect-6.4 P-10ESect-6.4 P-11ESect-6.4 P-12ESect-6.4 P-13ESect-6.4 P-14ESect-6.4 P-15ESect-6.4 P-16ESect-6.4 P-17ESect-6.4 P-18ESect-6.4 P-19ESect-6.4 P-20ESect-6.4 P-21ESect-6.4 P-22ESect-6.4 P-23ESect-6.4 P-24ESect-6.4 P-25ESect-6.4 P-26ESect-6.4 P-27ESect-6.4 P-28ESect-6.4 P-29ESect-6.4 P-30ESect-6.4 P-31ESect-6.4 P-32ESect-6.4 P-33ESect-6.4 P-34ESect-6.4 P-35ESect-6.4 P-36ESect-6.4 P-37ESect-6.4 P-38ESect-6.4 P-39ESect-6.4 P-40ESect-6.4 P-41ESect-6.4 P-42ESect-6.4 P-43ESect-6.4 P-44ESect-6.4 P-45ESect-6.4 P-46ESect-6.4 P-47ESect-6.4 P-48ESect-6.4 P-49ESect-6.4 P-50ESect-6.4 P-51ESect-6.4 P-52ESect-6.4 P-53ESect-6.4 P-54ESect-6.4 P-55ESect-6.4 P-56ESect-6.4 P-57ESect-6.4 P-58ESect-6.4 P-59ESect-6.4 P-60ESect-6.4 P-61ESect-6.4 P-62ESect-6.4 P-63ESect-6.4 P-64ESect-6.4 P-65ESect-6.4 P-66ESect-6.4 P-67ESect-6.4 P-68ESect-6.4 P-69ESect-6.4 P-70ESect-6.4 P-71ESect-6.4 P-72ESect-6.4 P-73ESect-6.4 P-74ESect-6.4 P-75ESect-6.4 P-76ESect-6.4 P-77ESect-6.4 P-78ESect-6.4 P-79ESect-6.4 P-80ESect-6.4 P-81ESect-6.4 P-82ESect-6.4 P-83ESect-6.4 P-84ESect-6.4 P-85ESect-6.4 P-86ESect-6.4 P-87ESect-6.4 P-88ESect-6.4 P-89ESect-6.4 P-90ESect-6.4 P-91ESect-6.4 P-92ESect-6.4 P-93ESect-6.4 P-94ESect-6.2Star P-1ESect-6.2Star P-2ESect-6.2Star P-3ESect-6.2Star P-4ESect-6.2Star P-5ESect-6.2Star P-6ESect-6.2Star P-7ESect-6.2Star P-8ESect-6.2Star P-9ESect-6.2Star P-10ESect-6.2Star P-11ESect-6.2Star P-12ESect-6.2Star P-13ESect-6.2Star P-14ESect-6.2Star P-15ESect-6.2Star P-16ESect-6.2Star P-17ESect-6.2Star P-18ESect-6.2Star P-19ESect-6.2Star P-20ESect-6.2Star P-21ESect-6.2Star P-22ESect-6.2Star P-23ESect-6.2Star P-24ESect-6.2Star P-25ESect-6.2Star P-26ESect-6.2Star P-27ESect-6.2Star P-28ESect-6.2Star P-29ESect-6.2Star P-30ESect-6.2Star P-31ESect-6.2Star P-32ESect-6.2Star P-33ESect-6.2Star P-34ESect-6.2Star P-35ESect-6.2Star P-36ESect-6.2Star P-37ESect-6.2Star P-38ESect-6.2Star P-39ESect-6.2Star P-40ESect-6.2Star P-41ESect-6.2Star P-42ESect-6.2Star P-43ESect-6.2Star P-44ESect-6.2Star P-45ESect-6.2Star P-46ESect-6.2Star P-47ESect-6.2Star P-48ESect-6.2Star P-49ESect-6.2Star P-50ESect-6.2Star P-51ESect-6.2Star P-52ESect-6.2Star P-53ESect-6.2Star P-54ESect-6.2Star P-55ESect-6.2Star P-56ESect-6.2Star P-57ESect-6.2Star P-58ESect-6.2Star P-59ESect-6.2Star P-60ESect-6.2Star P-61ESect-6.2Star P-62ESect-6.2Star P-63ESect-6.2Star P-64ESect-6.2Star P-65ESect-6.2Star P-66ESect-6.2Star P-67ESect-6.2Star P-68ESect-6.2Star P-69ESect-6.2Star P-70ESect-6.2Star P-71ESect-6.2Star P-72ESect-6.2Star P-73ESect-6.2Star P-74ESect-6.2Star P-75ESect-6.2Star P-76ESect-6.2Star P-77ESect-6.2Star P-78ESect-6.2Star P-79ESect-6.2Star P-80ESect-6.2Star P-81ESect-6.2Star P-82ESect-6.2Star P-83ESect-6.2Star P-84ESect-6.2Star P-85ESect-6.2Star P-86ESect-6.2Star P-87ESect-6.2Star P-88ESect-6.2Star P-89ESect-6.3Star P-1ESect-6.3Star P-2ESect-6.3Star P-3ESect-6.3Star P-4ESect-6.3Star P-5ESect-6.3Star P-6ESect-6.3Star P-7ESect-6.3Star P-8ESect-6.3Star P-9ESect-6.3Star P-10ESect-6.3Star P-11ESect-6.3Star P-12ESect-6.3Star P-13ESect-6.3Star P-14ESect-6.3Star P-15ESect-6.3Star P-16ESect-6.3Star P-17ESect-6.3Star P-18ESect-6.3Star P-19ESect-6.3Star P-20ESect-6.3Star P-21ESect-6.3Star P-22ESect-6.3Star P-23ESect-6.3Star P-24ESect-6.3Star P-25ESect-6.3Star P-26ESect-6.3Star P-27ESect-6.3Star P-28ESect-6.3Star P-29ESect-6.3Star P-30ESect-6.3Star P-31ESect-6.3Star P-32ESect-6.3Star P-33ESect-6.3Star P-34ESect-6.3Star P-35ESect-6.3Star P-36ESect-6.3Star P-37ESect-6.3Star P-38ESect-6.3Star P-39ESect-6.3Star P-40ESect-6.3Star P-41ESect-6.3Star P-42ESect-6.3Star P-43ESect-6.3Star P-44ESect-6.3Star P-45ESect-6.3Star P-46ESect-6.3Star P-47ESect-6.3Star P-48ESect-6.3Star P-49ESect-6.3Star P-50ESect-6.3Star P-51ESect-6.3Star 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