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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

A bacteria culture initially contains 100 cells and grows at a rate proportional to its size. After an hour the population has increased to 420.

(a) Find an expression for the number of bacteria after t hours.

(b) Find the number of bacteria after 3 hours.

(c) Find the rate of growth after 3 hours.

(d) When will the population reach 10, 000?

To determine

To evaluate:

a) Expression for the number of bacteria after t hours

b) Number of bacteria after 3 hours

c) Rate of growth of bacteria after 3 hours

d) When will the number of bacteria reached 10000 i.e. P(t)=104

Explanation

We measure time t in hours and let P(t) denotes the number of bacteria after t hours.

Given that:

1. P(0)=100

2. P(1)=420

Formula used:

(1) Model of population growth: P(t)=P(0)ekt where k denotes the relative growth.

(2) Rate of change of population: dPdt=kP

Calculation:

Consider, the model of growth for the number bacteria

P(t)=P(0)ekt

It is given that P(0)=100. Replace this value in above model, we getP(t)=100ekt                                  (1)

Part (a):

Put P(1)=420 in equation (1), we get420=P(1)    =100ek

Divide both side by 100, we get4.2=ekTaking log both side, we getln4.2=lnek         =kTherefore, k=ln4.21.4351/hour

Replace value k=ln4.2  in equation (1), we getP(t)=100etln4.2          =100×eln(4.2)t             =100×4.2t                                   (2)

Conclusion (a): Thus, the expression for the number of bacteria after t hours is P(t)=100×4.2t

Part (b):

Put t=3 in expression for the number of bacteria which is equation (2):

P(3)=100×4

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