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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

Evaluate.

[Assume that the integrand is defined and continuous at t = 0 ; see Exercise 4.3.64]

To determine

To find:The value of the given expression.

Explanation

Given:

limx01x0x(1tan2t)1tdt

Formulae used: The fundamental theorem of calculus.Definition of derivative.

Consider limx01x0x(1tan2t)1tdt

Let (1tan2t)1t=f(t) It is given that f is defined and continuous at t=0. Let the indefinite integral (1tan2t)1tdt=F(t)+c Then by fundamental theorem of calculus we have 0x(1tan2t)1tdt=F(x)F(0) and F'(t)=f(t) Thus limx01x0x(1tan2t)1tdt=limx0F(x)F(0)x By definition of derivative the expression on the RHS above is the derivative of F at zero. But F is anti-derivative of the integrand. Thus to find the required limit we only need to find the value of the integrand at zero. That is we need to find f(0).Summarising the discussion thus far we have limx01x0x(1tan2t)1tdt=limx01x0xf(t)dt=limx0F(x)F(0)x=F'(0)=f(0) Since f is continuous at zero we have

f(0)=limt0f(t)=

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