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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

79-84 Sketch the curve using the guidelines of section 3.5.

y = ( x 2 ) e x

To determine

To Draw:

Graph of the function y=(x2)ex.

Explanation

Consider, the function

y=(x2)ex

(1) Domain of the function y:

Domain of ex is . Therefore,

Domain of y=(x2)ex is also .

(2) Intercepts:

For y-intercept, put x = 0 in the function y:

 y(0)=(02)e0=2

Therefore, (0,2) is y-intercept. For x-intercept put y(x)=0. This gives

0=y(x)=(x2)ex 

This implies that

x2=0. 

Thus, x =2 and so x-intercept is the point (2, 0).

(3)

y(x)=(x2)exy(x) y(x)

This implies that y is neither even nor odd function.

(4) Asymptotes:

Since the function y is finite for all values, therefore, it has no vertical asymptote.

Horizontal asymptotes:

Consider

limxy(x)=limx(x2)ex=limxx2ex                    (-form)=limx1ex                          (By l'Hospital's rule)=0

Thus, y =0 is horizontal asymptotes.

(5) Increasing or decreasing:

Consider

y=(x2)ex

Differentiate it with respect to x, we get

y'=ddx[(x2)ex]=ddx(x2)ex+(x2)ddxex                                         (By product rule)=1×ex+(x2)×exddx(x)                                           (By chain rule)     =ex+(x2)×ex(1)                           =ex(1x+2)=ex(3x)

Put y'(x)=0. This implies that

ex(3x)=0So, 3x=0  as exponential function is always positive.This gives thatx=3

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