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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

Investigate the family of curves given by f ( x ) = x e c x , where c is a real number. Start by computing the limits as x ± . Identify any transitional values of c where the basic shape changes. What happens to the maximum or minimum points and inflection points as c changes? Illustrate by graphing several members of the family.

To determine

To:

a) Computing the limits as x±

b) Identify any translational value of c where the basic shape changes

c) Check what happens to the maximum or minimum points and inflection points as c changes

d) Illustrate them by drawing graphs for different values of c.

Explanation

Given:

Family of curves: f(x)=xecx where c is real number.

Calculation:

Consider, the function

f(x)=xecx

For c > 0

limxxecx=limxxecx                               (form)=limxddxxddxecx                            (By l'Hospital's rule)  =limx1ecxddx(cx)                      (By chain rule)=limx1cecx=0

As x, the function ecx as c>0. Therefore,

limxf(x)=limxxecx              =

For c < 0

As x, the function ecx as c<0. Therefore,

limxf(x)=limxxecx              =

And

limxxecx=limxxecx                               (form)

=limxddxxddxecx                            (By l'Hospital's rule)  =limx1cecx=0

Consider

f(x)=xecx

Differentiate it with respect to x, we get

f'(x)=ddx[xecx]=ddx(x)ecx+xddx[ecx]                                          (By product rule)                                      =1×ecx+xecxddx(cx)                                           (By chain rule)     =ecx[1cx]      

Put f'(x)=0. This implies that

ecx[1cx]=0So, 1cx=0  This gives thatx=1c provided if c0

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