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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

PUTNAM EXAM CHALLENGE

Assume that | f ( x ) | 1 and | f ( x ) | 1 for all x on an interval of length at least 2. Show that | f ' ( x ) | 2 on the interval.

This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition ©The Mathematical Association of America. All rights reserved.

To determine

To prove: The inequality |f(x)|2 on an interval of length at least two if |f(x)|1 and |f(x)|1 for all x on any interval.

Explanation

Given:

The functions |f(x)|1 and |f''(x)|1 for all x on the interval of length at least 2.

Formula used:

Series expansion of a function f(x) around the point c is given by:

f(c)=n=0f(n)(c)n!(xc)n

Calculation:

Suppose the interval is [1,1] and x[1,1].

With the help of series expansion to expand the function f(x) at 1.

Then,

f(1)=f(x)+(1x)f(x)+12(1x)2f(c) where c(x,1) …… (1)

With the help of series expansion to expand the function f(x) at 1.

Then,

f(1)=f(x)+(1x)f(x)+12(1x)2f(d) where d(1,x) …… (2)

Subtract equation (2) from equation (1)

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