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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
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Textbook Problem

Numerical and Graphical Approximations

(a) Use the Maclaurin polynomials P 1 ( x ) , P 3 ( x ) , and P 5 ( x ) for f ( x ) = sin x to complete the table.

x 0 0.25 0.50 0.75 1
sin x 0 0.2474 0.4794 0.6816 0.8415
P 1 ( x )
P 3 ( x )
P 5 ( x )

(b) Use a graphing utility to graph f ( x ) = sin x and the Maclaurin polynomials in part (a).

(c) Describe the change in accuracy of a polynomial approximation as the distance from the point where the polynomials is centered increases.

(a)

To determine
The Maclaurin polynomials P1(x),P3(x),P5(x) for the function, f(x)=sinx to complete the table,

x 0 0.25 0.50 0.75 1
sinx 0 0.2474 0.4794 0.6816 0.8415
P1(x)
P3(x)
P5(x)
Explanation

The Maclaurin polynomial for f is

Pn(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x2+......+fn(0)n!xn …… (1)

For the function f(x)=sinx,

Differentiate the function with respect to x, and apply the formula ddx(sinx)=cosx,

f'(x)=cosxf''(x)=sinxf'''(x)=cosx

The fourth and fifth derivative of function are;

f(x)=sinxf(x)=cosx

The values of the derivative at x=0 are

f'(0)=1f''(0)=0f'''(0)=1

And,

f(0)=0f(0)=1

Substitute the value of the function and the first order derivative in (1),

P1(x)=f(0)+f'(0)x=0+x=x

Therefore,

P1(0.25)=0.25P1(0.50)=0.50P1(0.75)=0.75P1(1)=1

Now, third Maclaurin polynomial is;

P3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x2+f'''(0)6x3=0+x+0x36=xx36

Therefore,

P3(0)=0(0)36=0P3(0.25)=0.25(0.25)360.2474

Similarly,

P3(0.50)=0

(b)

To determine

To graph: The function f(x)=sinx and P1(x),P3(x),P5(x) by the use of graphing calculator.

(c)

To determine
The change in accuracy of polynomial approximations as the distance from the point where polynomial centered increases.

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P-17ESect-9.4 P-18ESect-9.4 P-19ESect-9.4 P-20ESect-9.4 P-21ESect-9.4 P-22ESect-9.4 P-23ESect-9.4 P-24ESect-9.4 P-25ESect-9.4 P-26ESect-9.4 P-27ESect-9.4 P-28ESect-9.4 P-29ESect-9.4 P-30ESect-9.4 P-31ESect-9.4 P-32ESect-9.4 P-33ESect-9.4 P-34ESect-9.4 P-35ESect-9.4 P-36ESect-9.4 P-37ESect-9.4 P-38ESect-9.4 P-39ESect-9.4 P-40ESect-9.4 P-41ESect-9.4 P-42ESect-9.4 P-43ESect-9.4 P-44ESect-9.4 P-45ESect-9.4 P-46ESect-9.4 P-47ESect-9.4 P-48ESect-9.4 P-49ESect-9.4 P-50ESect-9.4 P-51ESect-9.4 P-52ESect-9.4 P-53ESect-9.4 P-54ESect-9.4 P-55ESect-9.4 P-56ESect-9.4 P-57ESect-9.4 P-58ESect-9.4 P-59ESect-9.4 P-60ESect-9.4 P-61ESect-9.4 P-62ESect-9.4 P-63ESect-9.4 P-64ESect-9.4 P-65ESect-9.4 P-66ESect-9.4 P-67ESect-9.5 P-58ESect-9.5 P-1ESect-9.5 P-2ESect-9.5 P-3ESect-9.5 P-4ESect-9.5 P-5ESect-9.5 P-6ESect-9.5 P-7ESect-9.5 P-8ESect-9.5 P-9ESect-9.5 P-10ESect-9.5 P-11ESect-9.5 P-12ESect-9.5 P-13ESect-9.5 P-14ESect-9.5 P-15ESect-9.5 P-16ESect-9.5 P-17ESect-9.5 P-18ESect-9.5 P-19ESect-9.5 P-20ESect-9.5 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P-83ESect-9.6 P-84ESect-9.6 P-85ESect-9.6 P-86ESect-9.6 P-87ESect-9.6 P-88ESect-9.6 P-89ESect-9.6 P-90ESect-9.6 P-91ESect-9.6 P-92ESect-9.6 P-93ESect-9.6 P-94ESect-9.6 P-95ESect-9.6 P-96ESect-9.6 P-97ESect-9.6 P-98ESect-9.6 P-99ESect-9.6 P-100ESect-9.6 P-101ESect-9.6 P-102ESect-9.6 P-103ESect-9.6 P-104ESect-9.6 P-105ESect-9.6 P-106ESect-9.6 P-107ESect-9.6 P-108ESect-9.6 P-109ESect-9.6 P-110ESect-9.7 P-59ESect-9.7 P-62ESect-9.7 P-63ESect-9.7 P-1ESect-9.7 P-2ESect-9.7 P-3ESect-9.7 P-4ESect-9.7 P-5ESect-9.7 P-6ESect-9.7 P-7ESect-9.7 P-8ESect-9.7 P-9ESect-9.7 P-10ESect-9.7 P-11ESect-9.7 P-12ESect-9.7 P-13ESect-9.7 P-14ESect-9.7 P-15ESect-9.7 P-16ESect-9.7 P-17ESect-9.7 P-18ESect-9.7 P-19ESect-9.7 P-20ESect-9.7 P-21ESect-9.7 P-22ESect-9.7 P-23ESect-9.7 P-24ESect-9.7 P-25ESect-9.7 P-26ESect-9.7 P-27ESect-9.7 P-28ESect-9.7 P-29ESect-9.7 P-30ESect-9.7 P-31ESect-9.7 P-32ESect-9.7 P-33ESect-9.7 P-34ESect-9.7 P-35ESect-9.7 P-36ESect-9.7 P-37ESect-9.7 P-38ESect-9.7 P-39ESect-9.7 P-40ESect-9.7 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