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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

Proof Prove Theorem 9.18. (Him for Property I: If the limit equals r < 1. choose a real number R such that r < R < 1. By the definitions of the limit there exists some N > 0 such that | a n | n < R  for  n > N )

To determine

To Prove: The series an converges absolutely when limnann  1

The series an diverges when limnann  1   or   limnann = The ratio test is inconclusive whenlimnann 

Explanation

Given:

1. limnann  1

2. limnann  13. limnann = 1

Proof:

1) Let us choose a positive  such that l+  1There exist a natural number m such that l  |un|1n l + for all n mLet l + = R then  0   r  1we have |un|1n r  for all n m

or    |un|  rn for all n mBut the series rnis convergent series since r  1By comparison test the series |

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