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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
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Textbook Problem

Proof Let P n ( x )

be the nth Taylor polynomial for f at c Prove that P n ( c ) = f ( c )

and P ( k ) ( c ) = f ( k ) ( c )

for 1 k n .

To determine

To prove: Pn(c)=f(c) and P(k)(c)=f(k)(c) for 1kn.

Explanation

Given:

The nth taylor polynomial of the function f at the point c is Pn(x) Formula used:

ddx(x)n=nxn1

Proof:

Consider the nth taylor polynomial Pn(x). This is the nth Taylor polynomial of the function f at the point c

Now consider the function f(x)=4x.

The second-degree polynomial approximation P2 at x=1 is:

P2(x)=42(x1)+32(x1)2

Observe the values provided in the table below:

x f(x)=4x P2(x)=42(x1)+32(x1)2
0 7.5
0.8 4.47 4.46
0.9 4.216 4.215
1 4 4
1.1 3.8138 3.815
1.2 3.651 3.66
2 2.828 3.5

Also the graph of the function f(x)=4x and its second-degree polynomial P2 is as shown below:

Clearly from the above graph this can be observe that P2(1)=f(1)=4.

Consider the function f(x)=secx

The second-degree polynomial approximation P2 at x=1

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P-81ESect-9.1 P-82ESect-9.1 P-83ESect-9.1 P-84ESect-9.1 P-85ESect-9.1 P-86ESect-9.1 P-87ESect-9.1 P-88ESect-9.1 P-89ESect-9.1 P-90ESect-9.1 P-91ESect-9.1 P-92ESect-9.1 P-93ESect-9.2 P-1ESect-9.2 P-2ESect-9.2 P-3ESect-9.2 P-4ESect-9.2 P-5ESect-9.2 P-6ESect-9.2 P-7ESect-9.2 P-8ESect-9.2 P-9ESect-9.2 P-10ESect-9.2 P-11ESect-9.2 P-12ESect-9.2 P-13ESect-9.2 P-14ESect-9.2 P-15ESect-9.2 P-16ESect-9.2 P-17ESect-9.2 P-18ESect-9.2 P-19ESect-9.2 P-20ESect-9.2 P-21ESect-9.2 P-22ESect-9.2 P-23ESect-9.2 P-24ESect-9.2 P-25ESect-9.2 P-26ESect-9.2 P-27ESect-9.2 P-28ESect-9.2 P-29ESect-9.2 P-30ESect-9.2 P-31ESect-9.2 P-32ESect-9.2 P-33ESect-9.2 P-34ESect-9.2 P-35ESect-9.2 P-36ESect-9.2 P-37ESect-9.2 P-38ESect-9.2 P-39ESect-9.2 P-40ESect-9.2 P-41ESect-9.2 P-42ESect-9.2 P-43ESect-9.2 P-44ESect-9.2 P-45ESect-9.2 P-46ESect-9.2 P-47ESect-9.2 P-48ESect-9.2 P-49ESect-9.2 P-50ESect-9.2 P-51ESect-9.2 P-52ESect-9.2 P-53ESect-9.2 P-54ESect-9.2 P-55ESect-9.2 P-56ESect-9.2 P-57ESect-9.2 P-58ESect-9.2 P-59ESect-9.2 P-60ESect-9.2 P-61ESect-9.2 P-62ESect-9.2 P-63ESect-9.2 P-64ESect-9.2 P-65ESect-9.2 P-66ESect-9.2 P-67ESect-9.2 P-68ESect-9.2 P-69ESect-9.2 P-70ESect-9.2 P-71ESect-9.2 P-72ESect-9.2 P-73ESect-9.2 P-74ESect-9.2 P-75ESect-9.2 P-76ESect-9.2 P-77ESect-9.2 P-78ESect-9.2 P-79ESect-9.2 P-80ESect-9.2 P-81ESect-9.2 P-82ESect-9.2 P-83ESect-9.2 P-84ESect-9.2 P-85ESect-9.2 P-86ESect-9.2 P-87ESect-9.2 P-88ESect-9.2 P-89ESect-9.2 P-90ESect-9.2 P-91ESect-9.2 P-92ESect-9.2 P-93ESect-9.2 P-94ESect-9.2 P-95ESect-9.2 P-96ESect-9.2 P-97ESect-9.2 P-98ESect-9.2 P-99ESect-9.2 P-100ESect-9.2 P-101ESect-9.2 P-102ESect-9.2 P-103ESect-9.2 P-104ESect-9.3 P-1ESect-9.3 P-2ESect-9.3 P-3ESect-9.3 P-4ESect-9.3 P-5ESect-9.3 P-6ESect-9.3 P-7ESect-9.3 P-8ESect-9.3 P-9ESect-9.3 P-10ESect-9.3 P-11ESect-9.3 P-12ESect-9.3 P-13ESect-9.3 P-14ESect-9.3 P-15ESect-9.3 P-16ESect-9.3 P-17ESect-9.3 P-18ESect-9.3 P-19ESect-9.3 P-20ESect-9.3 P-21ESect-9.3 P-22ESect-9.3 P-23ESect-9.3 P-24ESect-9.3 P-25ESect-9.3 P-26ESect-9.3 P-27ESect-9.3 P-28ESect-9.3 P-29ESect-9.3 P-30ESect-9.3 P-31ESect-9.3 P-32ESect-9.3 P-33ESect-9.3 P-34ESect-9.3 P-35ESect-9.3 P-36ESect-9.3 P-37ESect-9.3 P-38ESect-9.3 P-39ESect-9.3 P-40ESect-9.3 P-41ESect-9.3 P-42ESect-9.3 P-43ESect-9.3 P-44ESect-9.3 P-45ESect-9.3 P-46ESect-9.3 P-47ESect-9.3 P-48ESect-9.3 P-49ESect-9.3 P-50ESect-9.3 P-51ESect-9.3 P-52ESect-9.3 P-53ESect-9.3 P-54ESect-9.3 P-55ESect-9.3 P-56ESect-9.3 P-57ESect-9.3 P-58ESect-9.3 P-59ESect-9.3 P-60ESect-9.3 P-61ESect-9.3 P-62ESect-9.3 P-63ESect-9.3 P-64ESect-9.3 P-65ESect-9.3 P-66ESect-9.3 P-67ESect-9.3 P-68ESect-9.3 P-69ESect-9.3 P-70ESect-9.3 P-71ESect-9.3 P-72ESect-9.3 P-73ESect-9.3 P-74ESect-9.3 P-75ESect-9.3 P-76ESect-9.3 P-77ESect-9.3 P-78ESect-9.3 P-79ESect-9.3 P-80ESect-9.3 P-81ESect-9.3 P-82ESect-9.4 P-1ESect-9.4 P-2ESect-9.4 P-3ESect-9.4 P-4ESect-9.4 P-5ESect-9.4 P-6ESect-9.4 P-7ESect-9.4 P-8ESect-9.4 P-9ESect-9.4 P-10ESect-9.4 P-11ESect-9.4 P-12ESect-9.4 P-13ESect-9.4 P-14ESect-9.4 P-15ESect-9.4 P-16ESect-9.4 P-17ESect-9.4 P-18ESect-9.4 P-19ESect-9.4 P-20ESect-9.4 P-21ESect-9.4 P-22ESect-9.4 P-23ESect-9.4 P-24ESect-9.4 P-25ESect-9.4 P-26ESect-9.4 P-27ESect-9.4 P-28ESect-9.4 P-29ESect-9.4 P-30ESect-9.4 P-31ESect-9.4 P-32ESect-9.4 P-33ESect-9.4 P-34ESect-9.4 P-35ESect-9.4 P-36ESect-9.4 P-37ESect-9.4 P-38ESect-9.4 P-39ESect-9.4 P-40ESect-9.4 P-41ESect-9.4 P-42ESect-9.4 P-43ESect-9.4 P-44ESect-9.4 P-45ESect-9.4 P-46ESect-9.4 P-47ESect-9.4 P-48ESect-9.4 P-49ESect-9.4 P-50ESect-9.4 P-51ESect-9.4 P-52ESect-9.4 P-53ESect-9.4 P-54ESect-9.4 P-55ESect-9.4 P-56ESect-9.4 P-57ESect-9.4 P-58ESect-9.4 P-59ESect-9.4 P-60ESect-9.4 P-61ESect-9.4 P-62ESect-9.4 P-63ESect-9.4 P-64ESect-9.4 P-65ESect-9.4 P-66ESect-9.4 P-67ESect-9.5 P-58ESect-9.5 P-1ESect-9.5 P-2ESect-9.5 P-3ESect-9.5 P-4ESect-9.5 P-5ESect-9.5 P-6ESect-9.5 P-7ESect-9.5 P-8ESect-9.5 P-9ESect-9.5 P-10ESect-9.5 P-11ESect-9.5 P-12ESect-9.5 P-13ESect-9.5 P-14ESect-9.5 P-15ESect-9.5 P-16ESect-9.5 P-17ESect-9.5 P-18ESect-9.5 P-19ESect-9.5 P-20ESect-9.5 P-21ESect-9.5 P-22ESect-9.5 P-23ESect-9.5 P-24ESect-9.5 P-25ESect-9.5 P-26ESect-9.5 P-27ESect-9.5 P-28ESect-9.5 P-29ESect-9.5 P-30ESect-9.5 P-31ESect-9.5 P-32ESect-9.5 P-33ESect-9.5 P-34ESect-9.5 P-35ESect-9.5 P-36ESect-9.5 P-37ESect-9.5 P-38ESect-9.5 P-39ESect-9.5 P-40ESect-9.5 P-41ESect-9.5 P-42ESect-9.5 P-43ESect-9.5 P-44ESect-9.5 P-45ESect-9.5 P-46ESect-9.5 P-47ESect-9.5 P-48ESect-9.5 P-49ESect-9.5 P-50ESect-9.5 P-51ESect-9.5 P-52ESect-9.5 P-53ESect-9.5 P-54ESect-9.5 P-55ESect-9.5 P-56ESect-9.5 P-57ESect-9.5 P-59ESect-9.5 P-60ESect-9.5 P-61ESect-9.5 P-62ESect-9.5 P-63ESect-9.5 P-64ESect-9.5 P-65ESect-9.5 P-66ESect-9.5 P-67ESect-9.5 P-68ESect-9.5 P-69ESect-9.5 P-70ESect-9.5 P-71ESect-9.5 P-72ESect-9.5 P-73ESect-9.5 P-74ESect-9.5 P-75ESect-9.5 P-76ESect-9.5 P-77ESect-9.5 P-78ESect-9.5 P-79ESect-9.5 P-80ESect-9.5 P-81ESect-9.5 P-82ESect-9.6 P-1ESect-9.6 P-2ESect-9.6 P-3ESect-9.6 P-4ESect-9.6 P-5ESect-9.6 P-6ESect-9.6 P-7ESect-9.6 P-8ESect-9.6 P-9ESect-9.6 P-10ESect-9.6 P-11ESect-9.6 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P-83ESect-9.6 P-84ESect-9.6 P-85ESect-9.6 P-86ESect-9.6 P-87ESect-9.6 P-88ESect-9.6 P-89ESect-9.6 P-90ESect-9.6 P-91ESect-9.6 P-92ESect-9.6 P-93ESect-9.6 P-94ESect-9.6 P-95ESect-9.6 P-96ESect-9.6 P-97ESect-9.6 P-98ESect-9.6 P-99ESect-9.6 P-100ESect-9.6 P-101ESect-9.6 P-102ESect-9.6 P-103ESect-9.6 P-104ESect-9.6 P-105ESect-9.6 P-106ESect-9.6 P-107ESect-9.6 P-108ESect-9.6 P-109ESect-9.6 P-110ESect-9.7 P-59ESect-9.7 P-62ESect-9.7 P-63ESect-9.7 P-1ESect-9.7 P-2ESect-9.7 P-3ESect-9.7 P-4ESect-9.7 P-5ESect-9.7 P-6ESect-9.7 P-7ESect-9.7 P-8ESect-9.7 P-9ESect-9.7 P-10ESect-9.7 P-11ESect-9.7 P-12ESect-9.7 P-13ESect-9.7 P-14ESect-9.7 P-15ESect-9.7 P-16ESect-9.7 P-17ESect-9.7 P-18ESect-9.7 P-19ESect-9.7 P-20ESect-9.7 P-21ESect-9.7 P-22ESect-9.7 P-23ESect-9.7 P-24ESect-9.7 P-25ESect-9.7 P-26ESect-9.7 P-27ESect-9.7 P-28ESect-9.7 P-29ESect-9.7 P-30ESect-9.7 P-31ESect-9.7 P-32ESect-9.7 P-33ESect-9.7 P-34ESect-9.7 P-35ESect-9.7 P-36ESect-9.7 P-37ESect-9.7 P-38ESect-9.7 P-39ESect-9.7 P-40ESect-9.7 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